1931년 괴델은 이른바 결정불가능론으로 대변되는 자신의 이론을 <'수학의 원리' 및 그와 관련된 수학체계에 있어서 명제의 결정불가능론>이라는 책에 소개하였다. 괴델은 완전하고도 모순없는 수학체계를 세우는 일이 불가능하다는 사실을 증명했던 것이다. 그의 아이디어는 다음과 같은 두 문장으로 요약할 수 있다.

결정불가능성의 제1정리

공리로부터 출발한 모순 없는 이론적 체계에는 증명할 수 없고 반증도 할 수 없는 정리가 반드시 존재한다.

결정불가능성의 제2정리

공리로부터 출발한 이론의 타당성을 증명할 수 있는 방법은 존재하지 않는다.

첫번째 정리의 의미는 수학이 어떤 공리에 기초를 두고 있건 간에 대답할 수 없는 질문이 반드시 존재하기 때문에 수학은 완전성을 갖지 못한다는 뜻이다. 게다가 두 번째의 정리는 한술 더 떠서 수학 자체는 자신이 선택한 공리가 모순을 초래하지 않는다는 것을 보장할 수 없기 때문에 하나의 수학체계가 모순되지 않음을 증명할 방법이 아예 없다고 주장하고 있다. 결국 괴델은 힐베르트의 계획이 실현 불가능하다는 사실을 증명한 셈이다.
괴델의 두 번째 정리에 의하면 공리의 타당성을 증명할 방법이 없다고 하지만, 이것은 공리 자체가 틀렸다는 뜻이 아니다. 많은 수학자들은 아직도 수학의 확실성을 믿고 있다. 다만 그것을 증명할 수 없을 뿐이다. 저명한 정수론 학자인 앙드레 베일은 이렇게 말했다. "수학이 완전하기 때문에 신은 존재 한다. 그리고 우리가 그 완전성을 증명할 수 없기에 악마 역시 존재한다."
괴델의 첫 번째 정리를 간단하고 일상적인 이야기로 설명할 수 있다. 이 이야기는 '크레타의 역설' 또는 '거짓말쟁이의 역설'이라는 제목으로 널리 알려져 있다. 크레타 섬에 살고 있는 에피메니데스는 어느 날 다음과 같이 간단 명료한 주장을 했다.

"나는 거짓말쟁이이다!"

이 문장이 참인지 거짓인지 판별하려고 할 때, 당장 역설적인 결과를 낳게 된다.
먼저 이 문장이 참이라고 가정해 보자. 그렇다면 에피메니데스는 거짓말쟁이이다. 그러나 우리는 그의 주장이 참이라고 가정했으므로 에피메니데스는 분명 사실을 말한 것이다. 즉 그는 거짓말쟁이가 아니다 - 누가 봐도 이것은 모순된 결과이다.
그러면 위의 문장이 거짓이라고 가정해 보자. 무슨 일이 일어날 것인가? 이 경우, 에피메니스는 거짓말쟁이가 아니다. 그런데 우리는 위 문장이 거짓이라고 가정했으므로 거짓말을 한 에피메니데스는 거짓말쟁이가 분명하다 - 이 경우 역시 또 다른 모순이 생긴다.
결국 이 문장이 참이든, 또는 거짓이든 상관없이 우리는 항상 모순된 결과를 얻게 되는 것이다. 따라서 이 문장은 참이 아니며 거짓도 될 수 없다.
괴델은 위 문장을 수학적 언어로 표현함으로써 참이지만 증명할 수 없는 즉, 결정불가능한 명제가 수학에 존재한다는 사실을 증명한 것이다

 

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