힐베르트는 무한대가 갖고 있는 기묘한 성질을 잘 보여주는
하나의 예제를 만들었다.
'힐베르트의 호텔'이라고 불리는 이 유명한
예제는 힐베르트가 종업원으로 일하고 있는 가상의 호텔에서 시작된다.
이 호텔에는 무한개의 객실이 있다. 어느 날 한 손님이 호텔로 찾아왔는데
객실이 무한개가 있음에도 불구하고 방마다 모두 투숙객들이 들어 있었으므로
빈 방을 내줄 수가 없었다. 그런데 호텔 종업원인 힐베르트는 잠시 생각하던
끝에 새로 온 손님에게 빈방을 마련할 수 있노라고 호언장담을 한다.
그는 객실로 올라가 모든 투숙객들에게 정중하게 부탁을 한다.
"죄송하지만 손님들께서는 옆방으로 한 칸씩만 이동해 주시기 바랍니다."
이해심 많은 투숙객들은 모두 옆방으로 옮겨 갔으며 자기 방을 못 찾아
헤매는 사람도 없었다. 그리고 새로 온 손님은 비어 있는 1호실로 여유
있게 들어갔다. 이것은 무한대에 1을 더해도 여전히 무한대임을 말해
주는 좋은 예이다.
그런데 다음 날 밤, 호텔에는 더욱 곤란한 문제가
발생했다. 투숙객이 방을 모두 점거하고 있는 상태에서 무한히 긴 기차를
타고 온 무한대의 손님들이 새로 도착한 것이다.
힐베르트는 당황하기는커녕,
무한대의 숙박료를 더 받을 수 있다고 혼자서 쾌재를 부른다. 그는 곧
객실에 안내 방송을 내보냈다. "손님 여러분, 죄송하지만 현재
묵고 계신 객실 번호에 2를 곱하셔서, 그 번호에 해당되는 객실로 모두
옮겨 주시기 바랍니다. 감사합니다!"
이리하여 1호실 손님은
2호실로, 2호실손님은 4호실로...... 모두 이동을 마쳤다. 자기 방을
빼앗긴 손님이 하나도 없는데도, 어느새 호텔에는 무한개의 빈 객실이
생긴것이다. 힐베르트의 재치 덕분에 새로 도착한 무한대의 손님들은
홀수 번호가 붙어있는 무한개의 객실로 모두 배정되어 편히 쉴 수 있었다.
이것은 무한대에 2를 곱해도 여전히 무한대임을 말해주고 있다.
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