축구 경기장에서 뛰고 있는 23명의 사람들을 생각해
보자. (22명은 선수이고 1명은 심판이다.)
이들 중에 생일이 같은
두 사람이 섞여 있을 확률은 얼마나 될까? 대상 인원은 23명밖에
안 되고 가능한 생일은 365가지나 되기 때문에, 언뜻 보면 이 확률은
매우 작아보인다. 이런 질문을 사람들에게 던진다면 대부분의 사람들은
10%미만이라고 대답할 것이다. 그런데 막상 수학적인 확률을 계산해
보면 그 결과는 50%가 조금 넘는다. 다시 말해서 23명 중에 생일이 같은
두 사람이 섞여 있을 확률이 그렇지 않을 확률이 그렇지 않을 확률보다
더 크다는 이야기이다.
확률이 이렇게 크게 나오는 이유는 '경우의
수'가 크기 때문이다. 즉 인원수는 23명밖에 안 되지만 이들 중 임의로
두 사람을 선정하는 방법은 다양하다. 이 문제를 해결할 때, 우리는
개개인의 생일보다는 '한 쌍의 사람들'의 생일을 살펴보아야 한다. 운동장에는
23명이 뛰고 있지만, 이들중 임의로 두 사람을 선택하는 방법은 253가지나
된다.
23명 중 생일이 같은 두 사람이 적어도 한 쌍 이상 섞여
있을 확률이 50%가 넘는다는 것은 우리의 직관적 판단과 비교할 때 너무
큰 것 같다. 하지만 이 결과는 수학적 계산을 통해 얻어진 것이므로
반박의 여지가 없다. (23명 중 임의로 선정한 한 쌍의 생일이 서로 다를
확률은 364/365이다. 따라서 23명 중 생일이 같은 두 사람이
하나도 없을 확률은 (364/365)253=49.95%이며, 생일이 같은 커플이 적어도
한 쌍이상 섞여 있을 확률은 100%에서 이 확률을 뺀 값, 즉 100% - 49.95%
= 50.05%가 된다)
복권업자들이나 도박사들은 이렇게 엉성한 사람들의
직관적 판단을 이용하여 이익을 챙기고 있다. 만일 여러분이 23명 이상
모인 연회에 초대된다면 한번 내기를 걸어 봄 직하다. 대상인원이 23명일
때, 생일이 같은 한 쌍의 커플이 있을 확률은 50%가 조금 넘는
정도이지만 인원수가 많아질수록 이 확률은 급속히 커져서 30명에 대한
확률은 거의 70%에 가까워진다. 따라서 이 정도의 사람이 모여 있을
때에는 당연히 '생일이 같은 사람이 있다.' 는 쪽에 거는 것이 유리하다
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